Question

5．（1）已知f（α）=$\frac{sin（π-α）cos（2π-α）tan（-α-π）tan（-α+\frac{3}{2}π）}{sin（-α-π）}$．若cos（α-$\frac{3}{2}$π）=$\frac{1}{5}$，α是第三象限角，求f（α）；
（2）若α、β为锐角，且cos（α+β）=$\frac{12}{13}$，cos（2α+β）=-$\frac{3}{5}$，求cosα 的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而利用诱导公式化简所求即可得解．
（2）由α=（2α+β）-（α+β），利用两角和的余弦公式可求cosα的值．

解答 解：（1）∵cos（α-$\frac{3}{2}$π）=-sinα=$\frac{1}{5}$，α是第三象限角，
∴sinα=-$\frac{1}{5}$，
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
∴f（α）=$\frac{sin（π-α）cos（2π-α）tan（-α-π）tan（-α+\frac{3}{2}π）}{sin（-α-π）}$
=$\frac{sinαcosα（-tanα）cotα}{sinα}$
=-cosα
=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
（2）∵α、β均为锐角，
∴0＜α+β＜π，0＜2α+β＜$\frac{3π}{2}$，
∵cos（α+β）=$\frac{12}{13}$＞0，cos（2α+β）=-$\frac{3}{5}$＜0，可得：0＜α+β＜$\frac{π}{2}$，0＜2α+β＜π，
∴sin（α+β）=$\frac{5}{13}$，sin（2α+β）=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=cos[（2α+β）-（α+β）]=cos（2α+β）cos（α+β）+sin（2α+β）sin（α+β）
=（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{12}{13}$+$\frac{5}{13}$×$\frac{4}{5}$
=-$\frac{16}{65}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，把“待求角”用“已知角”的和、差、倍、补、余表示出来是常用角的变换，也是本题解题的关键，属于基本知识的考查．