Question

证明：对于任意实数t，复数z=

|cost|

+

|sint|

i的模r=|z|适合r≤

4	2

．

Answer 1

分析：先求出复数z的模，利用分析法证明r≤

4	2

即可．

解答：证明：复数z=

|cost|

+

|sint|

i（其中t是实数）的模r=|z|为r=

( |cost| )2+( |sint| )2

=

|cost|+|sint|

.
要证对任意实数t，有r≤

4	2

，
只要证对任意实数t，|cost|+|sint|≤

2

成立
对任意实数t，因为|cost|²+|sint|²=1
所以可令cos?=|cost|，sin?=|sint|，
且?∈(0，

π

2

)，
于是|cost|+|sint|=cos?+sin?=

2

sin(?+

π

4

)≤

2

.

点评：本题考查复数的模，三角函数的基本关系式，是中档题．