Question

已知函数f（x）=sin（2wx-

π

6

）-4sin²wx+2（w＞0），其图象与x轴相邻两个交点的距离为

π

2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）的图象恰好经过点（-

π

3

，0），求当m取得最小值时，g（x）在[-

π

6

，

7π

12

]上的单调增区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=

3

sin（2wx+

π

3

），再根据正弦函数的周期性求出ω的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、g（x）的图象恰好经过点（-

π

3

，0），求得g（x）=

3

sin（2x+

2π

3

）．令2kπ-

π

2

≤2x+

2π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围可得函数的增区间，再结合合x∈[-

π

6

，

7π

12

]，进一步确定g（x）的增区间．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin（2wx-

π

6

）-4sin²wx+2（w＞0）=

3

2

sin2wx-

1

2

cos2wx-4•

1-cos2wx

2

+2
=

3

2

sin2wx+

3

2

cos2wx=

3

sin（2wx+

π

3

），
根据图象与x轴相邻两个交点的距离为

π

2

，可得函数的最小正周期为2×

π

2

=

2π

2ω

，求得ω=1，
故函数f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）．

（2）将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）=

3

sin[2（x+m）+

π

3

]=

3

sin（2x+2m+

π

3

）的图象，
再根据g（x）的图象恰好经过点（-

π

3

，0），
可得sin（2m-

π

3

）=0，
故 m=

π

6

，
g（x）=

3

sin（2x+

2π

3

）．
令2kπ-

π

2

≤2x+

2π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

7π

12

≤x≤kπ-

π

12

，故函数g（x）的增区间为[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

]，k∈z．
再结合x∈[-

π

6

，

7π

12

]，可得增区间为[-

π

6

，-

π

12

]、[

5π

12

，

7π

12

]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．