Question

在平面直角坐标系中，已知三个点的坐标分别为：O（0，0），B（2，2），C（4，0）．
（1）若过点C作一条直线l，使点O和点B到直线l的距离相等，求直线l的方程；
（2）求△OBC的外接圆的方程．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）由于直线过点C（4，0），故直线方程可表示为y=k（x-4），即kx-y-4k=0，利用点A（0，0），B（2，2）到直线的距离相等，求出k，即可求直线l的方程；
（2）设△ABC的外接圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入A，B，C的坐标，求出D，E，F，即可求△OBC的外接圆的方程．

解答： 解：（1）依题意可知，直线斜率存在．故设直线的斜率为k，
由于直线过点C（4，0），故直线方程可表示为y=k（x-4），即kx-y-4k=0…（1分）
因为点A（0，0），B（2，2）到直线的距离相等，
所以

|-4k|

k2+1

=

|2k-2-4k|

k2+1

…（3分）
解得k=1或k=-

1

3

…（5分）
故所求直线方程为y=x-4或y=-

1

3

x+

4

3

…（7分）
（2）设△ABC的外接圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
代入A，B，C的坐标，得

F=0 4+4+2D+2E+F=0 16+4D+F=0

…（8分）
解得D=-4，E=0，F=0…（9分）
故所求△ABC的外接圆的方程为x²+y²-4x=0…（10分）

点评：本题考查直线与圆的方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．