Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-2n，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n+2}为等比数列；
（2）设${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}（{a_n}+2）$，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求$\frac{1}{T_3}+\frac{1}{T_6}+…+\frac{1}{{{T_{3n}}}}$．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-2n，推出a_n=2a_n-1+2，然后证明{a_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
（2）求出数列{b_n}的前n项和为T_n，然后利用裂项消项法求解数列的和即可．

解答 （1）证明：由S_n=2a_n-2n有S_n-1=2a_n-1-2（n-1），相减得a_n=2a_n-2a_n-1-2
∴a_n=2a_n-1+2即a_n+2=2（a_n-1+2）…（2分）   
又S₁=2a₁-2，解得a₁=2…（3分）
故{a_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列…（4分）
（2）由（1）得${a_n}+2=4•{2^{n-1}}={2^{n+1}}$，${b_n}={log_{\frac{1}{2}}}{2^{n+1}}=-n-1$，…（6分）
${T_n}=\frac{n（-2-n-1）}{2}=-\frac{n（n+3）}{2}$，…（8分）     
$\frac{1}{{{T_{3n}}}}=-\frac{2}{3n（3n+3）}=-\frac{2}{9}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$…（10分）$\frac{1}{T_3}+\frac{1}{T_6}+…+\frac{1}{{{T_{3n}}}}=-\frac{2}{9}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=-\frac{2}{9}（1-\frac{1}{n+1}）=-\frac{2n}{9（n+1）}$…（12分）

点评 本题考查数列求和，裂项消项法的应用，等比数列的证明，考查计算能力．