Question

己知圆C：（x-x₀）²+（y-y₀）²=R²（R＞0）与y轴相切
（1）求x₀与R的关系式
（2）圆心C在直线l：x-3y=0上，且圆C截直线m：x-y=0所得的弦长为2

7

，求圆C方程．

Answer 1

分析：（1）由圆C方程找出圆心C坐标与半径R，根据圆C与y轴相切，得到圆心横坐标的绝对值等于R，即可列出x₀与R的关系式；
（2）由圆心C在直线l上，设圆心C（3y_o，y_o），再由圆C与y轴相切，表示出R，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离d，由R与d，利用垂径定理及勾股定理列出关于y₀的方程，进而确定出圆心C坐标与半径R，写出圆C方程即可．

解答：解：（1）根据题意得：|x₀|=R；
（2）由圆心C在l：x-3y=0上，可设圆心C（3y_o，y_o），
∵圆C与y轴相切，∴R=3|y_o|，
∵圆心C到直线m的距离d=

|3yo-yo|

2

=

2

|y_o|，
∴弦长=2

R2-d2

=2

7

，
∴2

9yo2-2yo2

=2

7

，
解得：y₀=±1，
∴圆C（3，1）或（-3，-1），R=3，
则圆C方程为（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．