Question

如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，B，P为单位圆上不同的点，∠AOB=θ，∠AOP=2θ，0≤θ≤π．
（Ⅰ）当θ为何值时，？
（Ⅱ）若，则当θ为何值时，点Q在单位圆上？

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知，，
∵，
∴（cosθ-1）sin2θ=sinθ•cos2θ，
∴sinθ=sin2θ，sinθ≠0，
∴cosθ=，又因为0≤θ≤π，所以．
（Ⅱ）设Q（x，y），则，
又∵=（cosθ+1，sinθ），
∴，
∴（cosθ+1）²+sin²θ=1，
∴，又0≤θ≤π，
∴θ=．
分析：（Ⅰ）由题意知，=（cosθ-1，sinθ），=（cos2θ，sin2θ），利用共线向量坐标间的关系即可求得θ；
（Ⅱ）设Q（x，y），则=（cosθ+1，sinθ），由点Q在单位圆上得（cosθ+1）²+sin²θ=1，结合0≤θ≤π即可求得θ．
点评：本题考查圆的参数方程，着重考查共线向量坐标间的关系及点在单位圆上，其坐标满足圆的方程的应用，属于中档题．