Question

18．已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx（a∈R）．
（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；
（2）若函数y=f（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$上无零点，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；
（2）问题转化为对x∈（0，$\frac{1}{2}$），a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，令l（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），根据函数的单调性求出a的最小值即可．

解答 解：（1）∵g（x）=（3-a）x-（2-a）-2lnx，
∴g′（x）=3-a-$\frac{2}{x}$，∴g′（1）=1-a，
又g（1）=1，∴1-a=$\frac{1-2}{1-0}$=-1，解得：a=2，
由g′（x）=3-2-$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{x}$＜0，解得：0＜x＜2，
∴函数g（x）在（0，2）递减；
（2）∵f（x）＜0在（0，$\frac{1}{2}$）恒成立不可能，
故要使f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）无零点，只需任意x∈（0，$\frac{1}{2}$），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，$\frac{1}{2}$），a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，
令l（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
则l′（x）=$\frac{2lnx+\frac{2}{x}-2}{{（x-1）}^{2}}$，
再令m（x）=2lnx+$\frac{2}{x}$-2，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
则m′（x）=$\frac{-2（1-x）}{{x}^{2}}$＜0，
故m（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，于是m（x）＞m（$\frac{1}{2}$）=2-2ln2＞0，
从而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，
∴l（x）＜l（$\frac{1}{2}$）=2-4ln2，
故要使a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
综上，若函数y=f（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$上无零点，则a的最小值是2-4ln2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．