Question

已知数列{a_n}满足a1=

4

3

，3a_n+1=a_n+2，n∈N₊．
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列．
（2）设bn=log

1

3

(an-1)，求数列{

1

bn×bn+1

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知

an+1-1

an-1

=

1 3 an+ 2 3 -1

an-1

=

1 3 (an-1)

an-1

=

1

3

，由此能证明数列{a_n-1}是等比数列．
（2）由an-1=(a1-1)×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n，得bn=log

1

3

(an-1)=log

1

3

(

1

3

)n=n，由此利用裂项求和法能求出数列{

1

bn×bn+1

}的前n项和．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}满足a1=

4

3

，3a_n+1=a_n+2，n∈N₊，
∴

an+1-1

an-1

=

1 3 an+ 2 3 -1

an-1

=

1 3 (an-1)

an-1

=

1

3

，…（4分）
∴数列{a_n-1}是等比数列．…（5分）
（2）解：由（1）得数列{a_n-1}为等比数列，
且公比为

1

3

，
∴an-1=(a1-1)×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n，…（7分）
∴bn=log

1

3

(an-1)=log

1

3

(

1

3

)n=n，…（8分）
∴

1

bn×bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（9分）
∴Sn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（12分）

点评：本题主要考查等比数列的证明、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意裂项求和法的合理运用．