Question

求：y=2x+

1-x2

的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：利用换元法，令x=sina，-

π

2

≤a≤

π

2

；从而得到y=2x+

1-x2

=2sina+cosa=

5

sin（a+θ），从而解值域．

解答： 解：令x=sina，-

π

2

≤a≤

π

2

；
则y=2x+

1-x2

=2sina+cosa
=

5

sin（a+θ），
cosθ=

2

5

，sinθ=

1

5

，θ∈（0，

π

2

）；
∵-

π

2

≤a≤

π

2

；
∴-

π

2

+θ≤a+θ≤

π

2

+θ；
∴sin（-

π

2

+θ）≤sin（a+θ）≤sin

π

2

；
∴-2≤

5

sin（a+θ）≤

5

；
故y=2x+

1-x2

的值域是[-2，

5

]．

点评：本题考查了函数的值域的求法，属于基础题．