Question

18．已知z是复数，z+2i、$\frac{z}{2-i}$均为实数（i为虚数单位），且复数（z+a•i）²在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为{a|2＜a＜6}．

Answer 1

分析 设z=m+ni，由Z+2i=m+ni+2i是实数，求得n=-2，$\frac{z}{2-i}$=$\frac{（2m+2）+（m-4）i}{5}$为实数，求得m=4，故z=4-2i．所以（z+ai）²=（12-a²+4a）+（8a-16）i，再由复数（z+ai）²在复平面对应的点在第一象限，能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）设z=m+ni
∵Z+2i=m+ni+2i是实数，
∴n=-2，$\frac{z}{2-i}$=$\frac{（2m+2）+（m-4）i}{5}$为实数，
∴m=4，
∴z=4-2i，
∴（z+ai）²=（4-2i+ai）²=16+8（a-2）i+（a-2）²i²=（12-a²+4a）+（8a-16）i，
∵复数（z+ai）²在复平面对应的点在第一象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{12{-a}^{2}+4a＞0}\\{8a-16＞0}\end{array}\right.$，解得：2＜a＜6，
∴实数a的取值范围是{a|2＜a＜6}，
故答案为：{a|2＜a＜6}．

点评 本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意复数的几何意义的灵活运用．