Question

19．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD：DC=1：2，AE：AB=2：3，BD与CE相交于点F．
（Ⅰ）证明：A，B，C，D四点共圆；
（Ⅱ）若BC=2，求△AEF外接圆的半径．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：△BAD≌△CBE，可得∠ADB=∠BEC，∠ADF+∠AEF=π，即可证明A，B，C，D四点共圆；
（Ⅱ）取AE的中点G，连接GD，证明点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为$\frac{2}{3}$，利用A，E，F，D四点共圆，即可求△AEF外接圆的半径．

解答 （Ⅰ）证明：∵AE=$\frac{2}{3}$AB，∴BE=$\frac{1}{3}A$B．
又∵AD=$\frac{1}{3}$AC，AB=AC，∴AD=BE．
又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，
∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC，
∴∠ADF+∠AEF=π，
∴A，E，F，D四点共圆．
（Ⅱ）解：如图所示，取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=$\frac{1}{2}$AE．
∵AE=$\frac{2}{3}$AB，∴AG=GE=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{2}{3}$．
∵AD=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{2}{3}$，∠DAE=60°，
∴△AGD为正三角形，
∴GD=AG=AD=$\frac{2}{3}$，即GA=GE=GD=$\frac{2}{3}$，
所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为$\frac{2}{3}$．
由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查四点共圆的证明，考查圆的半径，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．