Question

在如图所示的几何体中， 四边形是正方形,,,且,,.

（Ⅰ）若与交于点,求证:；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

证明：（Ⅰ）如图，取中点，连，，

           在中，因为分别是的中点，

所以，且，

 又由已知得，，且，

        所以，所以四边形是平行四边形，所以………3分

        又，所以 ………4分

     （Ⅱ）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系

           则，，

             ，，………2分

           所以，

               ，

           所以，

且

           所以，；                        ………4分

又，所以               ………5分

（Ⅲ） 设平面的法向量为

      由（Ⅱ）知，

      所以，令，得  ………2分    

      又平面的法向量为            ………3分    

      设二面角的大小为，是锐角

      则

      所以二面角的余弦值为            ………5分