Question

5．已知E，F为双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的左右焦点，抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于不同的两点A，B，若$|AF|=\frac{4}{5}|BE|$，则双曲线的离心率为$4±\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据双曲线的定义求出|BE|=10a，|BF|=8a，结合抛物线的定义求出交点B的纵坐标，结合直角三角形的边角关系建立方程进行求解即可．

解答 解：根据双曲线和抛物线的对称性得|BF|=|AF|=$\frac{4}{5}$|BE|，
∵|BE|-|BF|=2a，
∴|BE|-$\frac{4}{5}$|BE|=$\frac{1}{5}$|BE|=2a，
则|BE|=10a，|BF|=8a，
∵抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，
∴$\frac{p}{2}$=c，且x=-c是抛物线的准线，
则|BD|=|BF|=8a，
设B（x，y），则由抛物线的性质得x+c=8a，即x=8a-c，
代入抛物线方程y²=2px=4cx得y²=4c（8a-c），
则|DE|²=y²=4c（8a-c），
在直角三角形BDE中，
BE²=DE²+BD²，
即100a²=64a²+4c（8a-c），
即36a²-32ac+4c²=0，
即c²-8ac+9a²=0，
解e²-8e+9=0，
得e=$4±\sqrt{7}$，
故答案为$4±\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据抛物线和双曲线的定义建立方程关系，求出a，c的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．