Question

12．三棱锥P-ABC中，PA=2，BC=3，PA⊥BC，如图所示，作与PA、BC都平行的截面，分别交棱PB、BC、AC、AB于点E、F、G、H，则截面EFGH的最大面积为（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由已知利用线面平行的性质可求四边形EFGH是平行四边形，又PA⊥BC，可求EFGH为矩形，设$\frac{PE}{PB}$=x，利用平行线分线段成比例定理可求EF=3x，EH=2（1-x），利用基本不等式及求得截面EFGH的最大面积．

解答 解：∵BC∥平面EFGH，
∴BC∥EF，BC∥GH，
∴EF∥GH，
同理，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵PA⊥BC，
∴EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH为矩形，
设$\frac{PE}{PB}$=x，则$\frac{EF}{BC}=\frac{EF}{3}=x$，
∴EF=3x，
又$\frac{EH}{PA}=\frac{BE}{BP}=1-x$，即$\frac{EH}{2}=1-x$，
∴EH=2（1-x），
∴截面EFGH的面积为S=EF×EH=6x（1-x）≤6×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{2}$（当且仅当x=1-x，即x=$\frac{1}{2}$时取等号）．
故选：C．

点评 本题主要考查了线面平行的性质，平行线分线段成比例定理，基本不等式的综合应用，考查了数形结合思想，属于中档题．