Question

在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、DC、CB的中点，当对角线BD、AC满足

 

时，四边形EFGH的形状是菱形．

Answer 1

分析：把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形．

解答：解：添加的条件应为：AC=BD．理由如下：
∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，
∴HG∥AC且HG=

1

2

AC；
同理EF∥AC且EF=

1

2

AC，
同理可得EH=

1

2

BD，
则HG∥EF且HG=EF，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又AC=BD，所以EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形．
故答案为：AC=BD

点评：此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．