Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

解：（1）设椭圆C的方程为 ，
则由题意知b=1．
∴ ．
∴a²=5
∴椭圆C的方程为  ．
（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀）．
又易知F点的坐标为（2，0）．
显然直线l存在的斜率，
设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）．
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得
（1+5k²）x²﹣20k²x+20k²﹣5=0．
∴ ．
又∵ ．∴ ．