Question

在一次球类比赛中，共有8支球队参加，其中有3支亚洲球队，以抽签的方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支，求：
（1）A、B两组中有一组恰有2支亚洲球队的概率；
（2）A组中至少有2支亚洲球队的概率；
（3）3支亚洲球队被分到同一组的概率．

Answer 1

分析：根据题意，首先计算将8支球队分为A、B两组的情况数目
（1）分步进行：先从三支亚洲队中取出2组，从其他5队中取出2个，组成1组，剩下的4个队为1组，再对应A、B组，有2种情况，由分步计数原理可得A、B两组中有一组恰有2支亚洲球队的情况数目，进而由等可能事件的概率公式计算可得答案；
（2）分两种情况讨论：①若A组中有2支亚洲队，②若A组中有3支亚洲队，分别由组合数公式可得每种情况的数目，由分类计数原理可得A组中至少有2支亚洲球队的情况数目，进而由等可能事件的概率公式计算可得答案；
（3）分两种情况讨论：①若3支亚洲球队被分到A组，②若3支亚洲球队被分到B组，易得①②的情况数目，由分类计数原理可得A组中至少有2支亚洲球队的情况数目，进而由等可能事件的概率公式计算可得答案．

解答：解：根据题意，将8支球队分为A、B两组，每组4支，可以在8支队伍中任取4个，作为A组，剩下的作为B组，有C₈⁴=70种情况，
（1）A、B两组中有一组恰有2支亚洲球队，
先从三支亚洲队中取出2组，从其他5队中取出2个，组成1组，剩下的4个队为1组，有C₃²•C₅²=30种分组分法，
再对应A、B组，有2种情况，
则A、B两组中有一组恰有2支亚洲球队的情况有2×30=60种，
则其概率为

60

70

=

6

7

；
（2）若A组中有2支亚洲队，先从三支亚洲队中取出2组，从其他5队中取出2个，作为A组，有C₃²•C₅²=30种情况，
若A组中有3支亚洲队，只需从其他5队中取出1个，加上3支亚洲球队，作为A组，有C₅¹=5种情况，
则A组中至少有2支亚洲球队的情况有30+5=35种，
则其概率为

35

70

=

1

2

；
（3）若3支亚洲球队被分到A组，只需从其他5队中取出1个，加上3支亚洲球队，作为A组，有C₅¹=5种情况，
若3支亚洲球队被分到B组，只需从其他5队中取出1个，加上3支亚洲球队，作为B组，有C₅¹=5种情况，
有5+5=10种情况，
则其概率为

10

70

=

1

7

．

点评：本题考查等可能事件概率的计算，涉及分组问题，注意分组的方法与计算．