Question

20．已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．过点E的平面α垂直于平面SAC．
（1）请作出平面α截四棱锥S-ABCD的截面（只需作图并写出作法）；
（2）当SA=AB时，求二面角B-SC-D的大小．

Answer 1

分析 （1）根据条件先证明BD⊥平面SAC，则面α 与底面的交线平行于BD即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面BSC、平面SCD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B-SC-D的大小．

解答 （1）∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BD，
∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
则BD⊥平面SAC，
若点E的平面α垂直于平面SAC，
则平面α 与底面的交线平行于BD即可．

（2）解：如图所示建立空间直角坐标系，
点A为坐标原点，AB，AD，AS所在的直线分别为x，y，z轴．设AB=1．

由题意得B（1，0，0），S（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），
$\overrightarrow{SB}$=（1，0，-1），又$\overrightarrow{SC}$=（1，1，-1）
设平面BSC的法向量为$\overrightarrow{n}$（x₁，y₁，z₁），则
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}={x}_{1}+{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}={x}_{1}-{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，令z₁=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，0，1，
$\overrightarrow{DS}$=（0，-1，1）$\overrightarrow{DC}$=（1，0，0），
设平面SCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），则
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DC}={x}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DS}={z}_{2}-{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，令y₂=1，则$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
设二面角B-SC-D的平面角为α，则
|cosα|=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$．
显然二面角B-SC-D的平面角为α为钝角，所以α=120°，
即二面角C-PB-D的大小为120°．

点评 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及二面角的求解，考查向量法的运用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．