Question

5．在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为3$\sqrt{2}$的正方形，且各侧棱长均为2$\sqrt{3}$，求该四棱锥外接球的表面积．

Answer 1

分析 先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的高上，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的面积公式解之即可．

解答 解：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，
记球心为O，PO=AO=R，
∵PA=2$\sqrt{3}$，AB=BC=3$\sqrt{2}$，
故PO₁=$\sqrt{12-9}$=$\sqrt{3}$，
∴OO₁=R-$\sqrt{3}$，或OO₁=$\sqrt{3}$-R（此时O在PO₁的延长线上），
在Rt△AO₁O中，R²=9+（R-$\sqrt{3}$）²得R=2$\sqrt{3}$，
∴球的表面积S=48π．

点评 本题主要考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．