题目内容
13．函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3-ax2-3a2x-4在（3，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）| A． | a≥0 | B． | a≥1 | C． | a≤-3或a≥1 | D． | -3≤a≤1 |
分析 根据题意，可将问题转化为导函数y′≥0在（3，+∞）上恒成立，即求y′min≥0，运用二次函数的性质即可求得y′min，从而得到关于a的不等关系，求解即可得到a的取值范围．
解答 解：∵y=$\frac{1}{3}$x3-ax2-3a2x-4，
∴y′=x2-2ax-3a2，
∵函数y=$\frac{1}{3}$x3-ax2-3a2x-4在（3，+∞）上是增函数，
∴y′=x2-2ax-3a2≥0在（3，+∞）上恒成立，
∵y′=x2-2ax-3a2=（x-a）2-4a2，
①对称轴为x=a=3，y′＜0，不成立；
②当a＞3，-4a2＞0，无解；
当a＜3，y′在（3，+∞）单调递增，
∴y′＞32-2a×3-3a2=9-6a-3a2≥0，
∴-3≤a≤1，
∴实数a的取值范围是[-3，1]，
故选：D．
点评 本题考查了函数单调性的综合运用，函数的单调性对应着导数的正负，若已知函数的单调性，经常会将其转化成恒成立问题解决．属于中档题．
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| A． | $\frac{3}{2}$ | B． | $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |