Question

（本小题满分12分）设函数．

（1）当时，求函数的最大值；

（2）令其图象上任意一点处切线的斜率，恒成立,求实数的取值范围；

（3）当,，方程有唯一实数解，求正数的值．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）当时，，可以通过导数判断的单调性，已知在上单调递增，在上单调递减，从而的极大值为,此即为最大值；（2）由题意可得，则问题等价于在上，恒成立，即在上恒成立，∴；（3）问题等价于方程有唯一实数解，构造函数，考虑通过判断其单调性，从而可得，可进一步设函数,由是增函数,可知至多有一解，又由,故的极小值点即为,即,解得．

试题解析：（1）依题意，知的定义域为，当时，, ，令，解得，

∴当时,，此时单调递增； 当时,,此时单调递减，

∴的极大值为,此即为最大值；

（2）,则有，在上恒成立，

∴,，当时,取得最大值,∴；

（3）∵方程有唯一实数解,∴有唯一实数解,

设,则，

令,，

∵，∴（舍去）,,

当时,,在上单调递减,

当时,,在上单调递增,

当时,,取最小值，

则 即 ，

∴，∵，∴，

设函数,∵当时,是增函数,∴至多有一解，

∵,∴方程（*）的解为,即,解得．

考点：1．通过导数判断函数的单调性；2．恒成立问题．