Question

某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前提下，可卖出b千克．若做广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出

b

2n

千克，（n∈N^*）．记广告费为n千元时，卖出产品数量为S_n千克．
（1）求S₁，S₂；
（2）求S_n；
（3）当a=50，b=200时厂家应生产多少千克这种产品，做几千元广告，才能获利最大？

Answer 1

分析：（1）当广告费为1千元时，销售量s1=b+

1

2

b=

3b

2

，s2=

3b

2

+

b

4

=

7b

4

     
（2）设s₀表示广告费为0千元时的销售量，即s₀=b，s1-s0=

1

2

b，s2-s1=

b

22

…s_n-s_n-1=

b

2n

，叠加可求
（3）设获利为T_n，则有T_n=as_n-1000n=50×200(2-

1

2n

)-1000n=10000（2-

1

2n

）-1000n，欲使T_n最大，则

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

，代入解不等式可求n

解答：解：（1）当广告费为1千元时，销售量s1=b+

1

2

b=

3b

2

        （2分）
当广告费为2千元时，销售量s2=

3b

2

+

b

4

=

7b

4

     （4分）
（2）设s₀表示广告费为0千元时的销售量，即s₀=b
由题意得s1-s0=

1

2

b
s2-s1=

b

22

…
s_n-s_n-1=

b

2n

，（6分）
以上n个等式相加得sn-s0=

b

2

+

b

22

+…+

b

2n

 （7分）
即有Sn=b+

b

2

+…+

b

2n

=

b(1- 1 2n+1 )

1- 1 2

=b(2-

1

2n

)（9分）
（3）当a=50，b=200时，设获利为T_n，则有T_n=as_n-1000n=50×200(2-

1

2n

)-1000n=10000（2-

1

2n

）-1000n（11分）
欲使T_n最大，则

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

，
则

20000- 10000 2n -1000n≥20000- 10000 2n+1 -1000(n+1) 20000- 10000 2n -1000n≥20000- 10000 2n-1 -1000(n-1)

解可得

n＞2 n＜4

，故n=3．（13分）
当n=3时，s₃=375，即厂家应生产350千克产品，做3千元的广告，能获利最大．（14分）

点评：本题主要考查了数列的叠加求解通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大（小）项，解题中要注意函数思想在解题中的应用．