Question

11．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n，且a₁=2，S₅=30．数列{b_n}的前n项和为T_n=2ⁿ-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=lnb_n+（-1）ⁿlnS_n，求数列{c_n}的前2n项和A_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过记等差数列{a_n}的公差为d，利用等差数列的求和公式及a₁=2可知公差d=2，进而可知a_n=2n；通过T_n=2ⁿ-1与T_n-1=2^n-1-1（n≥2）作差，进而可知b_n=2^n-1；
（Ⅱ）通过（I）可知S_n=n（n+1），进而并项相加即得结论．

解答 解：（Ⅰ）记等差数列{a_n}的公差为d，
依题意，S₅=5a₁+$\frac{5（5-1）}{2}$d=30，
又∵a₁=2，
∴d=$\frac{30-10}{10}$=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n；
∵T_n=2ⁿ-1，
∴T_n-1=2^n-1-1（n≥2），
两式相减得：b_n=2^n-1，
又∵b₁=T₁=2¹-1=1满足上式，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（I）可知S_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
∴c_n=lnb_n+（-1）ⁿlnS_n
=ln2^n-1+（-1）ⁿln[n（n+1）]
=（n-1）ln2+（-1）ⁿ[lnn+ln（n+1）]，
故A_2n=（0-ln1-ln2）+（ln2+ln2+ln3）+（2ln2-ln3-ln4）+（3ln2+ln4+ln5）+…+[（2n-1）ln2+ln（2n）+ln（2n+1）]
=[0+1+2+…+（2n-1）]ln2+ln（2n+1）
=$\frac{（2n-1）（1+2n-1）}{2}$ln2+ln（2n+1）
=n（2n-1）ln2+ln（2n+1）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．