Question

7．已知满足方程$\left\{\begin{array}{l}{|z-1|=|z+i|}\\{|z-2|=a}\end{array}\right.$的复数z有且只有2个，则实数a的取值范围是（2，+∞）．

Answer 1

分析 设出复数z，利用已知条件列出方程组，判断求解即可．

解答 解：设z=x+yi，方程$\left\{\begin{array}{l}{|z-1|=|z+i|}\\{|z-2|=a}\end{array}\right.$化为：$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+{y}^{2}={x}^{2}+（y+1）^{2}}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=a}\end{array}\right.$
即：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=a}\end{array}\right.$，如图：
满足方程$\left\{\begin{array}{l}{|z-1|=|z+i|}\\{|z-2|=a}\end{array}\right.$的复数z有且只有2个，
可得：$\frac{|2-0|}{\sqrt{2}}＜\sqrt{a}$，
解得a＞2．
故答案为：（2，+∞）..

点评 本题考查复数的几何意义，直线与圆的方程的综合应用，考查计算能力．