Question

已知三条直线l₁：2x－y＋a＝0(a＞0)、直线l₂：－4x＋2y＋1＝0和直线l₃：x＋y－1＝0，且l₁与l₂的距离是

(1)求a的值；

(2)求l₃到l₁的角θ；

(3)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点：②P点到l₁的距离是P点到l₂的距离的；③P点到l₁的距离与P点到l₃的距离之比是∶；若能，求P点坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　求解本题的必需工具是三个公式：平行直线间的距离公式，直线到直线的“到角”公式和点到直线的距离公式．其中第(3)问应解一个由①、②、③建立起来的方程组． 　　解答　　(1)l2即2x－y－＝0， 　　∴l1与l2的距离d＝＝， 　　∴＝． 　　∴|a＋|＝， 　　∵a＞0，∴a＝3， 　　(2)由(1)，l1即2x－y＋3＝0，∴k1＝2， 　　而l3的斜率k3＝－1， 　　∴tanθ＝＝＝－3． 　　∵0≤θ≤π，∴θ＝π－arctan3； 　　(3)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1、l2平行的直线：2x－y＋c＝0上． 　　且＝，即c＝，或c＝， 　　∴2x0－y0＋＝0，或2x0－y0＋＝0； 　　若P点满足条件③，由点到直线的距离公式， 　　有＝· 　　即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， 　　∴x0－2y0＋4＝0，或3x0＋2＝0； 　　由P在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能． 　　联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0， 　　解得 　　由得， 　　∴P(，)即为同时满足三个条件的点．