Question

13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直线l：x-y+1=0经过C的上顶点．又，直线x=-1与C相较于A、B两点，M是C上异于A、B的任意一点，直线AM、BM分别交直线x=-4于两点P、Q．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；    
（Ⅱ）求证：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判断椭圆焦点在x轴且b=1，利用a²-c²=1，$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求解a，即可得到椭圆方程．
（Ⅱ）求出$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的表达式．设A（-1，t），B（-1，-t），将x=-1代入椭圆方程，求出AB坐标，设M（x₀，y₀），代入椭圆方程，求出AM方程，然后求解Q纵坐标，P的纵坐标，$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的表达式求出定值．

解答 解：（Ⅰ）依题意，椭圆焦点在x轴且b=1…1’，
即a²-c²=1，而$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…3’，
∴a=2…4’，
从而椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…5’．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{OP}=（-4，{y_P}）$，$\overrightarrow{OQ}=（-4，{y_Q}）$，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=16+{y_P}•{y_Q}$…6’．
设A（-1，t），B（-1，-t），将x=-1代入C的方程，
得${t^2}=\frac{3}{4}$，∴A（-1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），B（-1，-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）…7’，
又设M（x₀，y₀），代入C的方程，得$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$…8’，
AM：$y-t=\frac{{{y_0}-t}}{{{x_0}+1}}（x+1）$，令x=-4，
得${y_Q}=t-3•\frac{{{y_0}-t}}{{{x_0}+1}}=\frac{{-3{y_0}+（{x_0}+4）t}}{{{x_0}+1}}$…9’，
同理，${y_P}=\frac{{-3{y_0}-（{x_0}+4）t}}{{{x_0}+1}}$…10’，
∴${y_P}•{y_Q}=\frac{{{{（-3{y_0}）}^2}-{{（{x_0}+4）}^2}{t^2}}}{{{{（{x_0}+1）}^2}}}$
=$\frac{{9（1-\frac{1}{4}{x_0}^2）-（{x_0}^2+8{x_0}+16）•\frac{3}{4}}}{{{{（{x_0}+1）}^2}}}$
=$\frac{{-3{x_0}^2-6{x_0}-3}}{{{{（{x_0}+1）}^2}}}=-3$…11’，
得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=13$…12’．
注：若通过M与C的左端点重合的特殊情况得出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=13$，后无一般性证明，可打分至9’．

点评 本题考查直线与体育的位置关系的综合应用，向量与圆锥曲线综合，考查转化思想以及计算能力．