Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，（x≤0）}\\{f（x-2）+1，（x＞0）}\end{array}\right.$，把函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S_n，则S₁₀=90．

Answer 1

分析 由分段函数解析式得到函数f（x）在x＞0时的分段解析式，首先求得函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x在（-2，0]上的零点，然后根据函数的图象平移得到函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x在（0，2]，（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点，得到偶数零点按从小到大的顺序排列的数列，利用等差数列的前n项和得答案．

解答 解：当0＜x≤2时，有-2＜x-2≤0，则f（x）=f（x-2）+1=2^x-2，
当2＜x≤4时，有0＜x-2≤2，则f（x）=f（x-2）+1=2^x-4+1，
当4＜x≤6时，有2＜x-2≤4，则f（x）=f（x-2）+1=2^x-6+2，
当6＜x≤8时，有4＜x-1≤6，则f（x）=f（x-2）+1=2^x-8+3，
以此类推，当2n＜x≤2n+2（其中n∈N）时，则f（x）=f（x-2）+1=2^x-2n-2+n，
∴函数f（x）=2^x的图象与直线y=$\frac{1}{2}$x+1的交点为：（0，1）和（-1，$\frac{1}{2}$），
由于指数函数f（x）=2^x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．
将函数f（x）=2^x和y=$\frac{1}{2}$x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2^x-1和y=$\frac{1}{2}$x的图象，
取x≤0的部分，可见它们有两个交点（0，0），（-1，-$\frac{1}{2}$）．
即当x≤0时，方程f（x）-$\frac{1}{2}$x=0有两个根x=-1，x=0；
当0＜x≤2时，由函数图象平移可得g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x的零点为1，2；
以此类推，函数y=f（x）与y=$\frac{1}{2}$x在（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点分别为：
3，4；5，6；…；2n+1，2n+2；
综上所述函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：
0，2，4，…，
其通项公式为：a_n=2（n-1），前10项的和为S₁₀=10×0+$\frac{10×9}{2}×2$=90．
故答案为：90．

点评 本题考查了分段函数的应用、函数零点的判断方法、等差数列的和的求法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．