Question

把一副三角板ABC与ABD摆成如图所示的直二面角D-AB-C，则异面直线DC与AB所成角的正切值为（　　）

• A．

  3

• B．

  21

  3

• C．

  21

  7

• D．不存在

Answer 1

分析：Rt△ABD中，AD：AB：BD=1：

3

：2，Rt△ABC中，AC：AB：BC=1：

2

：1，因此设AD=

2

，则AB=

6

，AB=AC=

3

．再建立如图坐标系，得出A、B、C、D各点的坐标，利用向量数量积公式，求出直线DC与AB所成角的余弦值，最后用同角三角函数的关系，可以算出DC与AB所成角的正切值．

解答：解：以A为原点，AB、AD所在直线分别为y轴和z轴，建立如图坐标系
Rt△ABD中，AD：AB：BD=1：

3

：2．Rt△ABC中，AC：AB：BC=1：

2

：1，
设AD=

2

，则AB=

6

，AB=AC=

3

则A（0，0，0），B（0，-

6

，0），C（

6

2

，-

6

2

，0），D（0，0，

2

）
∴

AB

=（0，-

6

，0），

DC

=（

6

2

，-

6

2

，-

2

）
可得

|AB|

=

6

，

|DC|

=

5

，
∴cos＜

AB

，

DC

＞=

0× 6 2 +(- 6 )×(- 6 2 )+0×(- 2 )

6 × 5

=

30

10

根据同角三角函数关系，得sin＜

AB

，

DC

＞=

1- 3 10

=

70

10

，tan＜

AB

，

DC

＞=

70 10

30 10

=

21

3

即异面直线DC与AB所成角的正切值为

21

3

故选B

点评：本题将一副三角板摆成直二面角，要我们要相对的棱所在的异面直线所成的角，着重考查了异面直线所成角的求法和空间向量的坐标运算，属于中档题．