Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosA），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）进行数量积的坐标运算便可得出sin（A+B）=-sin2C，进而可求出cosC=$-\frac{1}{2}$，从而得出C=$\frac{2π}{3}$；
（2）根据余弦定理及不等式a²+b²≥2ab即可得出3ab≤12，进而得到ab≤4，这样根据三角形面积公式即可求出△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=sinAcosB+cosAsinB$=sin（A+B）=sinC=-sin2C；
即sinC=-2sinCcosC，且sinC＞0；
∴$cosC=-\frac{1}{2}$；
∵0＜C＜π；
∴$C=\frac{2π}{3}$；
（2）根据余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab≥2ab+ab；
∴3ab≤12；
∴ab≤4，当且仅当a=b=2时取等号；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absin\frac{2π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}ab≤\sqrt{3}$；
∴△ABC的面积的最大值是$\sqrt{3}$．

点评 考查向量数量积的坐标运算，两角和的正弦公式，三角函数诱导公式，以及已知三角函数值求角，余弦定理，三角形面积公式．