Question

2．函数f（x）=log_a（2-ax）（a＞0，a≠1）．
（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；
（2）若g（x）=f（x）-log_a（2+ax），判断g（x）的奇偶性；
（3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；
（2）根据函数奇偶性的定义判断即可；
（3）令μ=2-ax，根据复合函数的单调性求出函数的最大值，从而求出对应的a的值即可．

解答 解：（1）由题意：f（x）=log_a（2-3x），
∴2-3x＞0，即x＜$\frac{2}{3}$，
所以函数f（x）的定义域为（-∞，$\frac{2}{3}$）；
（2）易知g（x）=log_a（2-ax）-log_a（2+ax），
∵2-ax＞0且2+ax＞0，
∴$-\frac{2}{a}＜x＜\frac{2}{a}$关于原点对称，
又∵$g（x）={log_a}（2-ax）-{log_a}（2+ax）={log_a}\frac{2-ax}{2+ax}$，
∴$g（-x）={log_a}\frac{2+ax}{2-ax}=-{log_a}\frac{2-ax}{2+ax}=-g（x）$，
∴g（x）为奇函数．
（3）令μ=2-ax，∵a＞0，a≠1，
∴μ=2-ax在[2，3]上单调递减，
又∵函数f（x）在[2，3]递增，
∴0＜a＜1，又∵函数f（x）在[2，3]的最大值为1，
∴f（3）=1，即f（3）=log_a（2-3a）=1，
∴$a=\frac{1}{2}$，∵0＜a＜1，∴$a=\frac{1}{2}$符合题意．
即存在实数$a=\frac{1}{2}$，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查复合函数的单调性、最值问题，是一道中档题．