Question

19．在平面直角坐标系xOy中，将曲线C₁：x²+y²=1上的所有点的横坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线C₂；在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（Ⅰ）写出曲线C₂的参数方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C₂上求一点P，使点P到直线l的距离d最大，并求出此最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲线C₂的普通方程，写出它的参数方程，曲线C₂的参数方程，利用极坐标与直角坐标方程的互化，即可求出直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设出点P坐标，得到直线l的距离d的表达式，然后求解最大值，并求出此最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，曲线C₁：x²+y²=1上的所有点的横坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线C₂方程为${（\frac{x}{{\sqrt{3}}}）^2}+{（\frac{y}{2}）^2}=1$，参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数）．直线l的极坐标方程是ρ（2cosθ-sinθ）=6．可得2ρcosθ-ρsinθ=6．
∴直线l的直角坐标方程为2x-y-6=0．…（6分）
（Ⅱ）设$P（\sqrt{3}cosφ，2sinφ）$，则点P到直线l的距离为$d=\frac{{|2\sqrt{3}cosφ-2sinφ-6|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|4sin（{{60}°}-φ）-6|}}{{\sqrt{5}}}$，
多以当sin（60°-φ）=-1时，d取最大值$2\sqrt{5}$，此时取φ=150°，点P坐标是$（-\frac{3}{2}，1）$．…（10分）

点评 本题考查曲线的极坐标与直角坐标方程的互化，考查椭圆的参数方程以及普通方程的互化，考查计算能力．