Question

14．试用向量方法证明“平行四边形的对角线互相平分”．

Answer 1

分析 要证明平行四边形的对角线互相平分，可以根据向量的模长相等进行证明；根据题意画出图形，结合平面向量的线性运算即可证明结论成立．

解答 证明：设O为平行四边形ABCD对角线的交点，如图所示；
则$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OD}$，
∴$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，
即$\overrightarrow{OB}$=-$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OC}$=-$\overrightarrow{OA}$，
∴|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OD}$|，|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{OA}$|，
即AC、BD互相平分；
故“平行四边形的对角线互相平分”．

点评 本题考查了利用向量法证明线段平行与相等的应用问题，是基础题目．