Question

已知A，B，C是△ABC的三个内角，且向量a=cos

A-B

2

i+

5

2

sin

A+B

2

j的长度为|a|=

3 2

4

，其中i，j分别是x轴，y轴上的单位向量．
（1）求证：tanA•tanB是定值；
（2）求tan（A+B）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据向量模的运算表示出|a|得到A，B的关系式，然后根据两角和与差的余弦公式整理，可求出tanA•tanB，进而得证．
（2）先根据角的范围确定tanA与tanB的范围，再根据两角和与差的正切公式展开，最后利用基本不等式可求出最小值．

解答：解：（1）由题意i²=1，j²=1，i•j=0，
则|a|2=i2cos2

A-B

2

+

5

4

j2sin2

A+B

2

+

2

i•jcos

A-B

2

sin

A+B

2

=cos2

A-B

2

+

5

4

sin2

A+B

2

=

1+cos(A-B)

2

+

5

4

•

1-cos(A+B)

2

而|a|=

3 2

4

，则

1+cos(A-B)

2

+

5

4

•

1-cos(A+B)

2

=

9

8

即4cos（A-B）=5cos（A+B），
4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，cosAcosB=9sinAsinB，

sinAsinB

cosAcosB

=

1

9

，即tanAtanB=

1

9

．
（2）由tanAtanB=

1

9

＞0，且A，B，C是△ABC的三个内角，
知tanA＞0，tanB＞0，
则tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

tanA+tanB

1- 1 9

=

9

8

(tanA+tanB)≥

9

8

×2

tanAtanB

=

9

8

×2×

1 9

=

3

4

，
当且仅当tanA=tanB=

1

3

时，tan（A+B）的最小值为

3

4

．

点评：本题主要考查两角和与差的余弦公式、正切公式、基本不等式的应用．向量和三角函数的综合题是高考热点问题，每年必考．