Question

设函数f（x）=x²-2ax（a＞0）．
（1）求函数在[0，2]上的最大值g（a）表达式；
（2）若a=1．函数在区间[m，n]的值域也是[m，n]（n＞m），求m，n 的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²的图象的对称轴方程为x=a，分类讨论，利用二次函数的性质求得函数在[0，2]]内的最大值为g（a）．
（2）讨论区间端点与对称轴x=1的位置关系，确定区间的单调性，从而得到关于m，n的方程解之．

解答： 解：（1）f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²的图象的对称轴方程为x=a，
当0＜a≤1，f（x）在[0，a]上为减函数，在[a，2]上为增函数，且f（2）＞f（0）．∴f（x）的最大值为f（2）=3-4a；
当1＜a＜2时，f（x）在[0，a]上为减函数，在[a，2]上为增函数，且f（0）＞f（2），∴f（x）的最大值为f（0）=-1；
当a≥2时，f（x）在[0，2]上为减函数，f（x）的最大值为f（0）=-1，
综上所述，g（a）=

3-4a，0＜a≤1 -1，a＞1

；
（2）若a=1．函数f（x）=x²-2x在区间[m，n]的值域也是[m，n]（n＞m），
当m≥1时，函数在[m，n]是增函数，所以f（m）=m，f（n）=n，即m，n是方程x²-2x=0两根，所以m=0，n=2；
当n≤1时，函数在[m，n]是减函数，所以f（m）=n，f（n）=m，即m²-2m=n，n²-2n=m，解得m=

1- 13

2

，n=

5+ 13

2

与n＜1矛盾；
当m＜1＜n时，函数在[m，1]上是递减函数，在1[，n]是递增函数，所以f（1）=m，即m=-1；f（m）=n或者f（n）=n，即m²-2m=n，或者n²-2n=0，解得n=3，或者n=2；
所以m=0，n=2或者m=-1，n=3或者m=-1，n=2．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．