Question

7．设函数$f（x）=cosxsinx-{sin^2}x-\frac{1}{2}$
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若$f（α）=\frac{{3\sqrt{2}}}{10}-1$，且$α∈（\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}）$，求$f（α-\frac{π}{8}）的值$．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的性质进行求解即可．
（2）利用两角和差的正弦公式进行化简求解即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1$…（3分），
∴f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$…（4分）
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$
得$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}（k∈Z）$，
∴f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]（k∈Z）$…（6分）
（2）∵$f（α）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2α+\frac{π}{4}）-1=\frac{{3\sqrt{2}}}{10}-1$∴$sin（2α+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$…（8分）
由$α∈（\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}）$知$2α+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{2}，π）$，
∴$cos（2α+\frac{π}{4}）=-\frac{4}{5}$…（10分）
∴$f（α-\frac{π}{8}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin[2（α-\frac{π}{8}）+\frac{π}{4}]-1$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin[（2α+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}]-1$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}[sin（2α+\frac{π}{4}）cos\frac{π}{4}-cos（2α+\frac{π}{4}）sin\frac{π}{4}]-1$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}）-1=-\frac{3}{10}$…（12分）

点评 本题主要考查三角函数性质的求解，利用三角函数的公式进行化简是解决本题的关键．