题目内容
已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)＞2－x成立，求实数k的取值范围．
（1）k＝－1. （2）(0，＋∞)
【解析】(1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，x∈R，
即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，
∴(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0对一切x∈R恒成立，
∴k＝－1.
(2)∵x∈[0，＋∞)，均有f(x)＞2－x，
即2x＋k·2－x＞2－x成立，
∴1－k＜22x对x≥0恒成立，
∴1－k＜(22x)min，
∵y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，
∴(22x)min＝1，
∴k＞0.
∴实数k的取值范围是(0，＋∞)．
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