Question

如图，在四棱锥A—BCC1B1中，等边三角形ABC所在平面与正方形BCC1B1所在平面互相垂直，D为CC1的中点．

(1)求证：BD⊥AB1；

(2)求二面角B—AD—B1的余弦值．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）

【解析】(1)证明　取BC中点O，连接AO，OB1．

△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．

∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面

BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，

∴AO⊥平面BCC1B1，∴AO⊥BD．

∵正方形BCC1B1中，O，D分别为BC，CC1的中点，

∴OB1⊥BD．又AO∩OB1＝O，

BD⊥平面AOB1，∴BD⊥AB1．

(2)解　取B1C1中点E，以O为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz，不妨设BC＝2．

由题意知A(0,0，)，B(1,0,0)，D(－1,1,0)，B1(1,2,0)，则＝(1,0，－)，＝(－2,1,0)，＝(1，－1，)，＝(2,1,0)，

设n＝(x，y，z)是平面ADB1的法向量，

则，

即，

可取n＝(－1,2，)，

同理，设m是平面ABD的法向量，可取m＝(1,2，)，

∴cos〈n，m〉＝＝，

∴二面角B—AD—B1的余弦值为．