Question

17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且$\sqrt{3}$bsinA+acosB-2a=0．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=$\sqrt{3}$，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a，c的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简后，在利用辅助角公式求解即可．
（2）利用（1）中求的B的大小，求出sinB和cosB的值，利用$S=\frac{1}{2}acsinB$和cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$组成方程组求解a，c的值．

解答 解：（1）由题意：$\sqrt{3}$bsinA+acosB-2a=0．
根据正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinBsinA+sinAcosB-2sinA=0
∵A，B，C是△ABC的内角，
∴sinA≠0．
∴$\sqrt{3}$sinB+cosB-2=0
化简得：sin（B+$\frac{π}{6}$）=1
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可知B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$．
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosB=$\frac{1}{2}$
$S=\frac{1}{2}acsinB$
则：$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}ac×$sinB…①
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$
∴$\frac{1}{2}=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-3}{2ac}$…②
由①②联立方程组化简得$\left\{\begin{array}{l}{ac=2}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}\right.$
所以a，c的值分别为$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查三角形的正弦定理和任意三角形的面积公式和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．