Question

(2006四川，19)如下图，在长方体中，E、P分别是BC、的中点，M、N分别是AE、的中点，，AB=2a．

(1)求证：MN∥面；

(2)求二面角P－AE－D的大小：

(3)求三棱锥P－DEN的体积．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：以D为原点，DA、DC、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系． 则A(a，0，0)，B(a，2a，0)，C(0，2a，0)， (a，0，a)，(0，0，a)． ∵E、P、M、N分别是BC、、AE、、的中点， n=(0，1，0)，显然n⊥面， ，∴． 又MN面，∴MN∥． (2)过P作PH⊥AE，交AE于H．取AD的中点F， 由，及H在直线AE上，可得 ∴．即． ∴与所夹的角等于二面角P－AE－D的大小． ． 故二面角P－AE－D的大小等于． (3)设为平面DEN的法向量，则，． ． ，． ∴即 ∴可取=(4，－1，2)． ． ． ∴． ∴．