Question

12．设函数f（x）=|2x+1|+|2x-a|（a＞0），g（x）=x+2
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）当x∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$）时f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设h（x）=f（x）-g（x）化为分段函数，由h（x）的图象可知不等式的解集．
（2）转化f（x）≤g（x）为a+1≤x+2，然后求解a的范围．

解答 解：（1）设h（x）=f（x）-g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-5x-2（x≤-\frac{1}{2}）}\\{-x（-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}）}\\{3x-2（x≥\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$
则由h（x）的图象可知不等式的解集{x|x≤0或x≥$\frac{2}{3}$}
（2）当x∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$）时f（x）=a+1，
又f（x）≤g（x），即a+1≤x+2，即x≥a-1恒成立，
a-1≤-$\frac{1}{2}$，∴a≤$\frac{1}{2}$ 
又∵a＞0，∴0＜a$≤\frac{1}{2}$

点评 本题考查函数的恒成立，绝对值函数以及分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．