Question

有穷数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+n，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n，并证明{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）现从中抽取某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均值是79，求这个数列的项数，抽取的是第几项？

Answer 1

分析：（1）由S_n=2n²+n，可得a₁=s₁，而n≥2时，a_n=s_n-s_n-1可求通项，进而可证明
（2）设抽取的是第k项，则由题意可得s_n-a_k=79（n-1），从而可求ak=2n2+n-79(n-1)．然后结合

ak＞a1 ak＜an

可求满足条件的n，代入ak=2n2+n-79(n-1)，结合通项可求k

解答：解：（1）由S_n=2n²+n，
得a₁=s₁=3
当n≥2时，sn-1=2(n-1)2+n-1
两式相减可得，a_n=s_n-s_n-1=2n²+n-2（n-1）²-（n-1）=4n-1，显然满足n=1，
∴a_n=4n-1，
∴a_n-a_n-1=4
∴数列{a_n}是公差为4的递增等差数列．
（2）设抽取的是第k项，则s_n-a_k=79（n-1），ak=2n2+n-79(n-1)=2n²-78n+79．
由

ak＞a1 ak＜an

可得

2n2-78n+79＞3 2n2-78n+79＜4n-1

，
解可得，38＜n＜40
∵n∈N^*，
∴n=39，
由ak=2n2-78n+79=2×392-78×39+79=4k-1
∴k=20
故数列{a_n}共有39项，抽取的是第20项．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及数列的求和问题的综合应用．