Question

已知已知f（x）是奇函数，且f（2-x）=f（x），当x∈[2，3]时，f（x）=log₂（x-1），则f（

1

3

）=（　　）

A．log₂7-log₂3

B．log₂3-log₂7

C．log₂3-2

D．2-log₂3

Answer 1

分析：由f（x）是奇函数，且f（2-x）=f（x），可知f（4+x）=f（x），于是f（

1

3

）=f（4

1

3

）=-f（2

1

3

）=log₂3-2，从而可得答案．

解答：解：∵f（x）是奇函数，且f（2-x）=f（x），
∴f（2+x）=f（-x）=-f（x），
∴f（4+x）=f（x），即f（x）是以4为周期的函数；
∴f（

1

3

）=f（4

1

3

）；
又f（2-x）=f（x），
∴f（-2

1

3

）=f（4

1

3

）=f（

1

3

）；
又当x∈[2，3]时，f（x）=log₂（x-1），f（x）是奇函数，
∴f（-2

1

3

）=-f（2

1

3

）=log₂3-2，
∴f（

1

3

）=log₂3-2．
故选C．

点评：本题考查函数的周期性与奇偶性，求得f（

1

3

）=-f（2

1

3

）是关键，也是难点，考查综合分析与转化的能力，属于中档题．