Question

5．一个口袋装有大小相同的小球9个，其中红球2个、黑球3个、白球4个，现从中抽取2次，每次抽取一个球．
（Ⅰ）若有放回地抽取2次，求两次所取的球的颜色不同的概率；
（Ⅱ）若不放回地抽取2次，取得红球记2分，取得黑球记1分，取得白球记0分，记两次取球的得分之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设事件A为“两次所取的球颜色不同”，利用对立事件概率计算公式能求出两次所取的球的颜色不同的概率．
（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设事件A为“两次所取的球颜色不同”，
则P（A）=1-[（$\frac{2}{9}$）²+（$\frac{3}{9}$）²+（$\frac{4}{9}$）²]=$\frac{52}{81}$．
（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}+{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{11}{36}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{9}^{2}}$=$\frac{1}{36}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{36}$

EX=$0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{3}+2×\frac{11}{36}+3×\frac{1}{6}+4×\frac{1}{36}$=$\frac{14}{9}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用．