Question

14．函数y=f（x）定义域是D，若对任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数，设函数y=f（x）在[0，1]上为非减函数，满足条件：①f（0）=0；②f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）；③f（1-x）=1-f（x）；则f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{2016}$）=$\frac{65}{128}$．

Answer 1

分析 由已知条件求出$f（\frac{1}{3}）$，$f（\frac{1}{2189}）=f（\frac{1}{1458}）=\frac{1}{128}$，结合$\frac{1}{2189}＜\frac{1}{2016}＜$$\frac{1}{1458}$及非减函数概念得f（$\frac{1}{2016}$），则答案可求．

解答 解：由③，令x=0，则f（1）=1-f（0）=1，
由②，令x=1，则f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，
$f（\frac{1}{9}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{3}）=\frac{1}{4}$，$f（\frac{1}{27}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{9}）=\frac{1}{8}$，$f（\frac{1}{81}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{27}）=\frac{1}{16}$，$f（\frac{1}{243}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{81}）=\frac{1}{32}$，
$f（\frac{1}{729}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{243}）=\frac{1}{64}$，$f（\frac{1}{2189}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{729}）=\frac{1}{128}$．
由③，令x=$\frac{1}{2}$，则f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
$f（\frac{1}{6}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{4}$，$f（\frac{1}{18}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{6}）=\frac{1}{8}$，$f（\frac{1}{54}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{18}）=\frac{1}{16}$，$f（\frac{1}{162}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{54}）=\frac{1}{32}$，
$f（\frac{1}{486}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{162}）=\frac{1}{64}$，$f（\frac{1}{1458}）=\frac{1}{2}f（\frac{1}{486}）=\frac{1}{128}$．
∵$\frac{1}{2189}＜\frac{1}{2016}＜$$\frac{1}{1458}$，
∴f（$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1}{128}$．
∴f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{128}=\frac{65}{128}$．
故答案为：$\frac{65}{128}$．

点评 本题考查了满足某些条件的非减函数，恰当的取值和利用条件非减函数是解决此题的关键，是中档题．