Question

1．已知$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$所成的角为$\frac{5}{6}π$，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，求$|3\overrightarrow a+2\overrightarrow b|$，并求$3\overrightarrow a+2\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$的夹角．

Answer 1

分析 根据平面向量的数量积求出对应向量的模长与夹角即可．

解答 解：$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$所成的角为θ=$\frac{5}{6}π$，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|cosθ=2×$\sqrt{3}$×cos$\frac{5π}{6}$=-3；
∴${（3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）}^{2}$=9${\overrightarrow{a}}^{2}$+12$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$
=9×2²+12×（-3）+4×${（\sqrt{3}）}^{2}$
=12，
∴$|3\overrightarrow a+2\overrightarrow b|$=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$；
又（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=3${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3×2²+2×（-3）=6，
设$3\overrightarrow a+2\overrightarrow b$与$\overrightarrow a$的夹角为α，
则cosα=$\frac{（3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|×|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{6}{2\sqrt{3}×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又α∈[0，π]，
∴α=$\frac{π}{6}$，即所求的夹角为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了利用向量的数量积表示夹角和模长的应用问题，解题的关键是正确利用向量的模长和夹角公式．