Question

如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且 

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的正弦值；

（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）只需证PA⊥BC，AC⊥BC即可；（2）；（3）故存在点E使得二面角是直二面角，此时。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.             4分

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，∴，

∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

∴与平面所成的角的大小.                9分

（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，

又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角的平面角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，

故存在点E使得二面角是直二面角.

此时        14分

考点：线面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；线面角；二面角。

点评：本题主要考查了直线与平面所成的角以及二面角，属立体几何中的常考题型，较难．充分考查了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力。