Question

已知矩阵A=

1 2 -1 4

，向量β=

7 4

．
（1）求A的特征值λ₁、λ₂和特征向量α₁、α₂；
（2）计算A⁵β的值．

Answer 1

分析：（1）先根据特征值的定义列出特征多项式f（λ）=

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（2）利用特征向量的性质计算，先利用特征向量表示向量β，后将求A⁵β的值的问题转化成求有关特征向量的计算问题．

解答：解：（1）矩阵A的特征多项式为f（λ）=

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

=λ²-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ₁=2，λ₂=3，
当λ₁=2时，得α₁=

1 2

，当λ₂=3时，得α₂=

1 1

．（7分）
（2）由β=

7 4

=mα₁+nα₂得

2m+n=7 m+n=4

，得m=3，n=1．
∴A⁵β=A5（3α₁+α₂）=3（A5α₁）+A5α₂=3（2⁵

1 2

+3⁵

1 1

）=

435 339

（15分）

点评：本题主要考查了特征值与特征向量的计算以及利用特征向量求向量乘方的问题，属于矩阵中的中档题．