Question

9．在如图所示的几何体中，正方形ABEF所在的平面与正三角形ABC所在的平面互相垂直，CD∥BE，且BE=2CD，M是ED的中点．
（1）求证：AD∥平面BFM；
（2）求二面角E-BM-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AE交BF于点N，连接MN，MN∥AD，由此能证明AD∥平面BFM．
（2）推导出BE⊥AB，从而BE⊥平面ABC，取BC的中点O，连接OM，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BM-F的余弦值．

解答 证明：（1）连接AE交BF于点N，连接MN．
因为ABEF是正方形，所以N是AE的中点，
又M是ED的中点，所以MN∥AD．
因为AD?平面BFM，MN?平面BFM，
所以AD∥平面BFM．
解：（2）因为ABEF是正方形，所以BE⊥AB，
因为平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC=AB，
所以BE⊥平面ABC，因为CD∥BE，所以取BC的中点O，
连接OM，则OM⊥平面ABC，因为△ABC是正三角形，所以OA⊥BC，
所以以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：
设CD=1，则B（0，1，0），E（0，1，2），D（0，-1，1），
$M（0，0，\frac{3}{2}），F（\sqrt{3}，0，2）$，
$\overrightarrow{BM}=（0，-1，\frac{3}{2}），\overrightarrow{MF}=（\sqrt{3}，0，\frac{1}{2}）$．
设平面BMF的一个法向量为$\vec n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\vec n•\overrightarrow{BM}=0\\ \vec n•\overrightarrow{MF}=0\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}-y+\frac{3}{2}z=0\\ \sqrt{3}x+\frac{1}{2}z=0\end{array}\right.$，
令$x=\sqrt{3}$，则z=-6，y=-9，所以$\vec n=（\sqrt{3}，-9，-6）$．
又因为$\overrightarrow{OA}=（\sqrt{3}，0，0）$是平面BME的法向量，
所以$cos＜\vec n，\overrightarrow{OA}＞=\frac{3}{{\sqrt{3}×\sqrt{3}+81+36}}=\frac{{\sqrt{10}}}{20}$．
所以二面角E-BM-F的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{20}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．