Question

5．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}），{F_1}$为左焦点，A为右顶点，B₁，B₂分别为上、下顶点，若F₁，A，B₁，B₂四点在同一圆上，则此椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合已知可得B₁F₁⊥B₁A，即${k}_{{B}_{1}{F}_{1}}•{k}_{{B}_{1}A}=-1$，由此得到关于e的方程求解．

解答 解：如图，

由F₁，A，B₁，B₂四点在同一圆上，可得
B₁F₁⊥B₁A，即${k}_{{B}_{1}{F}_{1}}•{k}_{{B}_{1}A}=-1$，
∵B₁（0，b），F₁（-c，0），A（a，0），
∴$\frac{b}{c}•（-\frac{b}{a}）=-1$，即$\frac{{b}^{2}}{ac}=\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{ac}=1$，
∴e²+e-1=0，解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线垂直与斜率的关系，是中档题．